Раніше ми вивчали інші функції, наприклад лінійну, нагадаємо її стандартний вид:
Звідси очевидна принципова відмінність — в лінійної функції х стоїть в першого ступеня, а в тій новій функції, до вивчення якої ми приступаємо, х стоїть у другому ступені.
Нагадаємо, що графіком лінійної функції є пряма лінія, а графіком функції , як ми побачимо, є крива, звана параболою.
Почнемо з того, що з’ясуємо, звідки з’явилася формула . Пояснення таке: якщо нам заданий квадрат зі стороною а , то площа його ми можемо обчислити так:
Якщо ми будемо міняти довжину сторони квадрата, то і його площа буде змінюватися.
Отже, наведена одна з причин, по якій вивчається функція
Нагадаємо, що змінна х — це незалежна змінна, або аргумент, у фізичній інтерпретації це може бути, наприклад, час. Відстань це навпаки залежна змінна, воно залежить від часу. Залежною змінною або функцією називається змінна у .
Це закон відповідності, згідно з яким кожному значенню х ставиться у відповідність єдине значення у .
Будь-який закон відповідності повинен задовольняти вимогу єдиності від аргументу до функції. У фізичній інтерпретації це виглядає досить зрозуміло на прикладі залежності відстані від часу: в кожен момент часу ми знаходимося на якомусь конкретному відстані від початкового пункту, і неможливо одночасно в момент часу t знаходиться і в 10 і в 20 кілометрах від початку шляху.
У той же час кожне значення функції може досягатися при декількох значеннях аргументу.
Отже, нам потрібно побудувати графік функції, для цього скласти таблицю. Потім за графіком досліджувати функцію і її властивості. Але вже до побудови графіка по виду функції ми можемо дещо сказати про її властивості: очевидно, що у не може приймати негативних значень, так як
Отже, складемо таблицю:
Рис. 1
За графіком нескладно відзначити наступні властивості:
Вісь у — це вісь симетрії графіка;
Вершина параболи-точка (0; 0);
Ми бачимо, що функція приймає тільки невід’ємні значення;
На проміжку, де
функція убуває, а на проміжку, де функція зростає;
Найменше значення функція набуває в вершині,
;
Найбільшого значення функції не існує;
Приклад 1
Умова:
Рішення:
Оскільки х за умовою змінюється на конкретному проміжку, можемо сказати про функцію, що вона зростає і змінюється на проміжку . Функція має на цьому проміжку мінімальне значення і максимальне значення
Рис. 2. Графік функції y = x 2, x ≈
Приклад 2
Умова: знайти найбільше і найменше значення функції:
Рішення:
Х змінюється на проміжку , значить у убуває на проміжку поки і зростає на проміжку поки .
Отже, межі зміни х, а межі зміни у, а, значить, на даному проміжку існує і мінімальне значення функції, і максимальне
Рис. 3. Графік функції y = x 2, x ∈ [-3; 2]
Проілюструємо той факт, що одне і те ж значення функції може досягатися при декількох значеннях аргументу.
Виберемо на площині прямокутну систему координат і будемо відкладати на осі абсцис значення аргументу х , а на осі ординат — значення функції у = f (х) .
Графіком функції y = f(x) називається безліч всіх точок, у яких абсциси належать області визначення функції, а ординати рівні відповідним значенням функції.
Іншими словами, графік функції y = f (х) — це безліч всіх точок площини, координати х, у яких задовольняють співвідношенню y = f(x) .
На рис. 45 і 46 наведені графіки функцій у = 2х + 1 і у = х 2 — 2х .
Строго кажучи, слід розрізняти графік функції (точне математичне визначення якого було дано вище) і накреслену криву, яка завжди дає лише більш-менш точний ескіз графіка (та й то, як правило, не всього графіка, а лише його частини, розташованого в кінцевій частині площини). Надалі, однак, ми зазвичай будемо говорити «графік«, а не»ескіз графіка».
За допомогою графіка можна знаходити значення функції в точці. Саме, якщо точка х = а належить області визначення функції y = f (x) , то для знаходження числа f(а) (тобто значення функції в точці х = а ) слід вчинити так. Потрібно через точку з абсцисою х = а провести пряму, паралельну осі ординат; ця пряма перетне графік функції y = f(x) в одній точці; ордината цієї точки і буде, в силу визначення графіка, дорівнює f(а) (рис. 47).
Наприклад, для функції f (х) = х 2-2x за допомогою графіка (рис. 46) знаходимо f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f (2) = 0 і т.д.
Графік функції наочно ілюструє поведінку і властивості функції. Наприклад, з розгляду рис. 46 ясно , що функція у = х 2 — 2х приймає позитивні значення при х<0 і при х>2, негативні — при 0 Для побудови графіка функції f(x) потрібно знайти всі точки площини, координати х , у яких задовольняють рівнянню y = f(x) . У більшості випадків це зробити неможливо, так як таких точок нескінченно багато. Тому графік функції зображують приблизно — з більшою чи меншою точністю. Найпростішим є метод побудови графіка по декількох точках. Він полягає в тому, що аргументу х надають кінцеве число значень — скажімо, х 1 , х 2 , x 3 ,…, х k і складають таблицю, в яку входять вибрані значення функції. Таблиця виглядає наступним чином: Склавши таку таблицю, ми можемо намітити кілька точок графіка функції y = f (x) . Потім, поєднуючи ці точки плавною лінією, ми і отримуємо приблизний вигляд графіка функції y = f(x). Слід, однак, зауважити, що метод побудови графіка по декількох точках дуже ненадійний. Справді поведінка графіка між наміченими точками і поведінка його поза відрізка між крайніми з узятих точок залишається невідомим. Приклад 1 . Для побудови графіка функції y = f (x) хтось склав таблицю значень аргументу і функції: Відповідні п’ять точок показані на рис. 48. На підставі розташування цих точок він зробив висновок, що графік функції являє собою пряму (показану на рис. 48 пунктиром). Чи можна вважати цей висновок надійним? якщо немає додаткових міркувань, що підтверджують цей висновок, його навряд чи можна вважати надійним. Надійний. Для обґрунтування свого твердження розглянемо функцію Обчислення показують, що значення цієї функції в точках -2, -1, 0, 1, 2 якраз описуються наведеною вище таблицею. Однак графік цієї функції зовсім не є прямою лінією (він показаний на рис. 49). Іншим прикладом може служити функція y = x + l + sinπx; її значення теж описуються наведеною вище таблицею. Ці приклади показують, що в» чистому » вигляді метод побудови графіка по декількох точках ненадійний. Тому для побудови графіка заданої функції, як правило, надходять наступним чином. Спочатку вивчають властивості даної функції, за допомогою яких можна побудувати ескіз графіка. Потім, обчислюючи значення функції в декількох точках (вибір яких залежить від встановлених властивостей функції), знаходять відповідні точки графіка. І, нарешті, через побудовані точки проводять криву, використовуючи властивості даної функції. Деякі (найбільш прості і часто використовувані) властивості функцій, що застосовуються для знаходження ескізу графіка, ми розглянемо пізніше, а зараз розберемо деякі часто вживані способи побудови графіків. Графік функції у = / f|x)/. Нерідко доводиться будувати графік функції y = |f(x) |, де f(х) — задана функція. Нагадаємо, як це робиться. За визначенням абсолютної величини числа можна написати Це означає, що графік функції y =|f(x)| можна отримати з графіка функції y = f(x) наступним чином: всі точки графіка функції у = f(х) , у яких ординати невід’ємні, слід залишити без зміни; далі, замість точок графіка функції y = f(x) , що мають негативні координати, слід побудувати відповідні точки графіка функції у = -f(x) (т. Е. Частина графіка функції Приклад 2. побудувати графік функції у = / х/. Беремо графік функції у = х (рис . 50, а ) і частина цього графіка при х<0 (лежить під віссю х) симетрично відображаємо щодо осі х . В результаті ми і отримуємо графік функції у = |х| (рис. 50, б). Приклад 3 . Побудувати графік функції y = / x 2-2x/. Спочатку побудуємо графік функції y = x 2-2x. Графік цієї функції-парабола, гілки якоїСпрямовані вгору, вершина параболи має координати (1; -1), її графік перетинає вісь абсцис в точках 0 і 2. На проміжку (0; 2) фукція приймає негативні значення, тому саме цю частину графіка симетрично відобразимо щодо осі абсцис. На малюнку 51 побудований графік функції у = |х 2-2х| , виходячи з графіка функції у = х 2 — 2x Графік функції y = f(x) + g(x) Розглянемо задачу побудови графіка функції y = f(x) + g(x). якщо задані графіки функцій y = f (x) і y = g(x). Зауважимо, що областю визначення функції y = |f(x) + g(х)| є безліч всіх тих значень х, для яких визначені обидві функції y = f{x) і у = g(х), тобто ця область визначення являє собою перетин областей визначення, функцій f{x) і g{x). Нехай точки (х 0 , y 1 ) і (х 0 , у 2 ) відповідно належать графікам функцій y = f{x) і y = g(х) , тобто y 1 = f(x 0), y 2 = g(х 0). тоді точка (x0;. Y1 + y2) належить графіку функції у = f (х) + g ( х) (бо f (х 0) + g (x 0 ) = y1 + y2),. Причому будь-яка точка графіка функції y = f (x) + g (x) може бути отримана таким чином. Отже, графік функції у = f ( х) + g(x) можна отримати з графіків функцій y = f(x). І y = g(х) заміною кожної точки (х n , у 1) графіка функції y = f(x) точкою (х n , y 1 + y 2), де у 2 = g(x n ), тобто зрушенням кожної точки (х n , у 1 ) графіка функції y = f(x) уздовж осі у на величину y 1 = g(х n ). При цьому розглядаються тільки такі точки х n для яких визначені обидві функції y = f(x) і y = g(x) . Такий метод побудови графіка функції y = f(x) + g(х ) називається складанням графіків функцій y = f(x) і y = g(x) Приклад 4 . На малюнку методом складання графіків побудований графік функції При побудові графіка функції y = x + sinx ми вважали, що f(x) = x, а g (x) = sinx. Для побудови графіка функції виберемо точки з абцисами -1,5 π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Значення f(x) = x, g (x) = sinx, y = x + sinx обчислимо в обраних точках і результати помістимо в таблиці. Побудова графіків функцій, що містять модулі, зазвичай викликає чималі труднощі у школярів. Однак, все не так погано. Досить запам’ятати кілька алгоритмів вирішення таких завдань, і ви зможете без праці побудувати графік навіть самої на вигляд складної функції. Давайте розберемося, що ж це за алгоритми. 1. Побудова графіка функції y = |f(x)| Зауважимо, що множина значень функцій y = / f| x)/: y ≥ 0. Таким чином, графіки таких функцій завжди розташовані повністю у верхній напівплощині. Побудова графіка функції y = |f(x)| складається з наступних простих чотирьох етапів. 1) побудувати акуратно і уважно графік функції y = f(x). 2) залишити без зміни всі точки графіка, які знаходяться вище осі 0x або на ній. 3) частина графіка, яка лежить нижче осі 0x, відобразити симетрично щодо осі 0x. Приклад 1. Зобразити графік функції y = / x 2 – 4x + 3| 1) будуємо графік функції y = x 2-4x + 3. Очевидно, що графік даної функції-парабола. Знайдемо координати всіх точок перетину параболи з осями координат і координати вершини параболи. X 2 – 4x + 3 = 0. X 1 = 3, x 2 = 1. Отже, парабола перетинає вісь 0x в точках (3, 0) і (1, 0). Y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3. Отже, парабола перетинає вісь 0y в точці (0, 3). Координати вершини параболи: X в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1. Отже, точка (2, -1) є вершиною даної параболи. Малюємо параболу, використовуючи отримані дані (рис. 1) 2) частина графіка, що лежить нижче осі 0x, відображаємо симетрично щодо осі 0x. 3) отримуємо графік вихідної функції (рис. 2, зображений пунктиром). 2. побудова графіка функції y = f| / x|) Зауважимо, що функції виду y = f(|x|) є парними: Y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значить, графіки таких функцій симетричні щодо осі 0y. Побудова графіка функції y = f(|x|) складається з наступної нескладної ланцюжка дій. 1) побудувати графік функції y = f (x). 2) залишити ту частину графіка, для якої x ≥ 0, тобто частину графіка, розташовану в правій напівплощині. 3) відобразити зазначену в пункті (2) частина графіка симетрично осі 0y. 4) в якості остаточного графіка виділити об’єднання кривих, отриманих в пунктах (2) і (3). Приклад 2. Зобразити графік функції y = x 2 – 4 · |x| + 3 Так як x 2 = | x / 2, то вихідну функцію можна переписати в наступному вигляді: y = / x| 2 – 4 · |x / + 3. А тепер можемо застосовувати запропонований вище алгоритм. 1) будуємо акуратно і уважно графік функції y = x 2 — 4 * x + 3 (див.також рис. 1 ). 2) ми залишаємо ту частину графіка, для якої x ≥ 0, тобто частина графіка, розташовану в правій напівплощині. 3) відображаємо праву частину графіка симетрично осі 0y. (рис. 3) . Приклад 3. Зобразити графік функції y = log 2| x / Застосовуємо схему, дану вище. 1) будуємо графік функції y = log 2 x (рис. 4) . 3. Побудова графіка функції y = |f (/x|)| Зауважимо, що функції виду y = |f(|x|)| теж є парними. Дійсно, y (- x) = y | / f (/- x/) / = y = / f| / x/) / = y(x), і тому, їх графіки симетричні щодо осі 0y. Безліч значень таких функцій: y ≥ 0. Значить, графіки таких функцій розташовані повністю у верхній напівплощині. Щоб побудувати графік функції y = / f (|x|)/, необхідно: 1) побудувати акуратно графік функції y = f (|x/). 2) залишити без змін ту частину графіка, яка знаходиться вище осі 0x або на ній. 3) частина графіка, розташовану нижче осі 0x, відобразити симетрично щодо осі 0x. 4) в якості остаточного графіка виділити об’єднання кривих, отриманих в пунктах (2) і (3). Приклад 4. Зобразити графік функції y = / — x 2 + 2| x| – 1/. 1) зауважимо, що x 2 = / x / 2 . Значить, замість вихідної функції y = — x 2 + 2 / x| – 1 Можна використовувати функцію y = | / x| 2 + 2|x| – 1, так як їх графіки збігаються. Будуємо графік y = | / x| 2 + 2|x / — 1. Для цього застосовуємо алгоритм 2. A) будуємо графік функції y = -x 2 + 2x-1 (рис. 6) . B) залишаємо ту частину графіка, яка розташована в правій напівплощині. C) відображаємо отриману частину графіка симетрично осі 0y. D) отриманий графік зображений на малюнку пунктиром (рис. 7) . 2) вище осі 0х точок немає, точки на осі 0х залишаємо без зміни. 3) частина графіка, розташовану нижче осі 0x, відображаємо симетрично щодо 0x. 4) отриманий графік зображений на малюнку пунктиром (рис. 8) . Приклад 5. Побудувати графік функції y = / (2 / x – — 4) /(/x| + 3)| 1) спочатку необхідно побудувати графік функції y = (2| x / – 4) |(|x / + 3). Для цього повертаємося до алгоритму 2. A) акуратно будуємо графік функції y = (2x-4) / (x + 3) (рис. 9) . Зауважимо, що дана функція є дрібно-лінійною і її графік є гіпербола. Для побудови кривої спочатку необхідно знайти асимптоти графіка. Горизонтальна-y = 2/1 (відношення коефіцієнтів при x в чисельнику і знаменнику дробу), вертикальна – x = -3. 2) ту частину графіка, яка знаходиться вище осі 0x або на ній, залишимо без змін. 3) частина графіка, розташовану нижче осі 0x, відобразимо симетрично щодо 0x. 4) остаточний графік зображений на малюнку (рис. 11) . Сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов’язкове. «натуральний логарифм» — 0,1. Натуральний логарифм. 4. «логарифмічний дартс»» 0,04. 7. 121. «степенева функція 9 клас» — у.кубічна парабола. У = х3. 9 клас учитель ладошкіна і.а. У = х2. Гіпербола. 0. У = хп, у = х-n де n-задане натуральне число. Х. Показник-парне натуральне число (2n). «квадратична функція» — 1 визначення квадратичної функції 2 властивості функції 3 графіки функції 4 квадратичні нерівності 5 висновок. Властивості: нерівності: підготував учень 8а класу герліц андрій. План: графік: — проміжки монотонності при а>0 при а<0. Квадратична функція. Квадратичні функції використовуються вже багато років. «квадратична функція та її графік» — рішення.у=4x а (0,5:1) 1=1 а-належить. При а=1 формула у=ах приймає вигляд. «8 клас квадратична функція » — 1) побудувати вершину параболи. Побудова графіка квадратичної функції. X. -7. Побудувати графік функції. Алгебра 8 клас учитель 496 школи бовіна т. В. -1. План побудови. 2) побудувати вісь симетрії x=-1. Y. 
. 
Y = f (x) , яка лежить нижче осі х, слід симетрично відобразити щодо осі х ). 
Y = x + sinx . 
